Contenido

1. Definicón Intuitiva de Escalares y de Vectores
1.1. Suma de Vectores
1.1.1. Suma Gráfica de Vectores
1.1.2. Suma de Vectores Mediante el Analitico
1.2. Vector Unitario o Versor
1.3. Inverso de un Vector
1.4. Resta de Vectores
1.5. Combinación Lineal de Vectores
1.6. Rotaciòn de Coordenadas, Redefiniendo el Concepto de Vectores
1.7. Productos de Vectores
1.7.1. Producto Escalar de dos Vectores
1.7.2 Producto Vectorial de dos Vectores
1.8. Triple Producto
1.8.1. Triple producto escalar
1.8.2. Triple producto vectorial
1.9. Inveresión de Coodenadas, Vectores Polares y Vectores Axiales
1.9.1. Vectores Polares
1.9.2. Vectores Axiales
1.10. Gradiante de una Función Escalar
1.11. Diverfencia de una Función Vectorial
1.12. Rotor de una Función Vectorial
1.13. Aplicaciones Sucesivas del operador Nabla

Cantidades Escalares y Vectoriales

 

En la vida diaria, tratamos con distintas cantidades físicas de diferentes naturaleza. Algunas de estas cantidades solo tienen una magnitud o módulo; se les conoce como escalares. El volumen del agua en un tanque, la temperatura de un paciente, la masa de luna pastilla, el tiempo de observación de un paciente son ejemplo de cantidades escalares. Otras cantidades, a parte de su magnitud requieren de una


Figura 1.1: Una cantidad vectorial tiene una magnitud y una dirección.

Dirección para dar toda la información. Consideremos por ejemplo la figura 1.1, en la cual el carro se ha movido de 20 km a lo largo de una línea recta desde el punto central, digamos A al punto B. En este caso, no es suficiente decir que la distancia recorrida por el carro es de 20 km. Esto solo significaría que el carro paró en algún punto de un círculo de 20 km de radio. Una aserción más completa precisaría que el movimiento de 20 km. de magnitud se hizo en una dirección, digamos 80 grados nor-este. El desplazamiento es una cantidad vectorial. Para representar a los vectores se utilizan segmentos de recta una flechita al final. La longitud del segmento es proporcional al módulo del vector y la flecha indica su dirección. El símbolo de un vector es su nombre con un flechita sobre él. Por ejemplo un vector llamado A se representa analíticamente por , mientras su módulo se escribiría A. Existe una gama variada de cantidades vectoriales: la posición, velocidad, aceleración, las fuerzas, el torque, el momento lineal, el momento angular, el campo eléctrico, el campo magnético, la polarización etc.. son algunos ejemplos.

 

1.1. Suma de Vectores

 

A menudo es menester sumar dos o más cantidades vectoriales y el proceso debe tener en cuenta los módulos de los vectores como sus direcciones. El vector suma es llamado resultante. Dos métodos son frecuentemente usados para sumar vectores: el método gráfico y el analítico. Empezaremos con el primero.

 

1.1.1. Suma Gráfica de Vectores

 

El caso más sencillo corresponde a los vectores colineales. Entonces la suma es similar al simple caso de cantidades escalares. El módulo de la resultante es la suma de los módulos de los vectores que s e suman y los tres tienen la misma dirección como la muestra la figura 1.2.

 


Figura 1.2: Suma de dos vectores colineales

 

Otro caso de frecuencia ocurrencia es el de vectores perpendiculares, como el ilustrado por la figura 1.3 que representa un automóvil que viaja 500 m en dirección este y 300 m en dirección norte. La distancia que lo separa de su punto de partida al final de la jornada se calcula mediante la ley de Pitágoras:

 


Figura 1.3: Suma de dos vectores perpendiculares

 

En el caso general cuando los vectores no son ni colineales, ni perpendiculares como la figura 1.4, se aplica el mismo procedimiento que consiste empezar el segundo donde termina el primer vector, pero como el triángulo formado n o es rectángulo, es necesario hallar otros métodos para determinar la resultante, por ejemplo midiendo directamente, o utilizando el teorema generalizado de Pitágoras

 


Figura 1.4: Suma de dos vectores ni colineales ni perpendiculares

 

1.1.2. Suma de Vectores Mediante el Método Analítico

 

Las componentes de un vector en le plano x – y son dos vectores perpendiculares y paralelos a los ejes x y y respectivamente y que al sumarse dan como resultante el vector . Sus módulos se escriben y; en todos los cálculos donde interviene el vector se puede usar sus componentes en su lugar.

Para determinar las componentes de un vector que tiene un módulo A y forma un ángulo q con el eje x, se proyecta el vector sobre los ejes respectivos y el resultado es

Esto se puede apreciar en la figura (1.5) que muestra un vector con sus componentes.

 

 


Figura 1.5: Descomposición de un vector en sus componentes.

Esto se puede fácilmente generalizar al caso tridimensional e incluso al caso n dimensional.

Para sumar dos vectores analíticamente, se suma sus componentes para obtener las componentes del vector resultante.

Este método se puede usar en la suma y otras operaciones con vectores en todas las situaciones. Su flexibilidad hace del método analítico el favorito en la mayoría de los casos y lo utilizaremos mucho en el c urso.

1.2. Vector Unitario o Versor

Para un vector cualquiera existe un vector unitario o versor que da la dirección de pero cuyo módulo es unidad (1). A este vector se le suele llamar vector unitario en la dirección de o su versor.

La representaremos con.

Los versores a lo largo de los ejes son particularmente muy útiles. Existen varias notaciones para representarlas:

Sin importar la notación, la característica aquí es que se trata de las versores de un sistema cartesiano. Otros sistemas de coordenadas pueden ser usados y sus correspondientes versores se utilizar&iac ute;an en lugar de los cartesianos.

En términos de estas versores y las componentes cualquier vector se escribe:

dónde representa la iésima componente y el versor correspondiente.

1.3. Inverso de un vector

Dos vectores y son el inverso uno del otro si su suma es nula.

Esto significa que los vectores son colineales, tienen el mismo módulo, pero sus sentidos son opuestos:

Veremos más tarde que el inverso de un vector se obtiene multiplicándolo por –1 de modo que

1.4. Resta de vectores

Para restar dos vectores se procede como en la suma pero entre uno y el inverso del otro:

La figura 1.6 ilustra este procedimiento: restar el vector del vector es buscar el vector tal que .

 


Figura 1.6:
Resta de dos vectores:

 

1.5. Combinación lineal de Vectores

Si un vector determinado está dado como combinación lineal de n vectores:

Entonces cada componente de es una combinación lineal de las correspondientes componentes de los vectores:

Esta relación es particularmente útil cuando se trabaja con varios vectores. Note que la suma es conmutativa, la resta anti-conmutativa; ambas operaciones son asociativas por lo que la combinación linea l también lo es.

1.6. Rotación de coordenadas, redefiniendo el concepto de vectores

En las secciones anteriores, vimos que un vector se determina con su módulo y dirección o dando sus componentes. Ahora veremos como el comportamiento bajo rotación y reflexión también definen el vector . Esto es sumamente importante debido a que el mundo físico es independiente de la descripción que de él hacemos. Esto significa que el fenómeno físico o la ley natural bajo estudio no puede depender de nuestra escogenci a de sistema de coordenadas o de su orientación. El vector ha de ser un objeto geométrico independiente del sistema de coordenadas.

Si tomamos dos sistemas de coordenadas tales que uno esté rotado con respecto al otro como lo muestra la figura

 


Figura 1.7
: Sistemas de coordenadas en rotación uno con respecto al otro:

 

Asumamos que el primer sistema se da con los ejes () y el segundo con un ángulo de rotación j con respecto al primero por los ejes ( ). Se puede entonces obtener las coordenadas del segundo sistema en función de las coordenadas del primero como:

Esto se puede escribir en forma algebraica:

o de forma más compacta:

donde es el cosenos del ángulo entre y .

Esta forma es mucho más fácil de generalizar a tres, cuatro, n dimensiones. Para un vector n dimensional, las componentes en el nuevo sistema se transforman mediante:

De la definición de los como los cosenos directores entre la dirección positiva de y la dirección positiva de se puede escribir:

Esto permite escribir la ecuación anterior de la forma:

Estos cosenos directores satisfacen la condición de ortonormalidad:

.

El símbolo es la delta de Kronecker definida por:

Llamamos vector a toda entidad que se transforma siguiendo estas propiedades bajo rotación. Note que:

  1. Las definiciones realizadas de esta manera son independientes del sistema de coordenadas (que ni tiene que ser cartesiano), como ha de ser para describir la realidad física.
  2. Se puede generalizar muy fácilmente a cualquier dimensión, llevándonos conduciendo a una visión tensorial.

1.7. Productos de vectores

Hasta ahora nos hemos limitado a suma y/o restar vectores, multiplicarlos por un escalar. Ahora consideramos el producto entre dos vectores. Existen en la naturalezas varias magnitudes físicas que se obtienen multiplicando dos o mas vectores: el trabajo, la potencia, el momento de una fuerza, el momento angular, la superficie, el volumen de un cuerpo son algunos ejemplos. Note que algunas de estas magnitudes son escalares y otras son vectores. Esto se debe a que el resultado del producto de vectores puede ser un escalar o un vector, lo que lleva a distinguir dos tipos de productos de vectores: el producto escalar (o punto) cuyo resultado es un escalar y el producto vectorial (o cruz) cuyo resultado es un vector.

Esquemáticamente representaremos el producto escalar (vectorial) entre los vectores y como (). El producto escalar es conmutativo mientras que el producto vectorial es anti-conmutativo:

Para escribir el resultado de estos productos, usaremos la regla de suma de los índices repetidos: Cada vez que un índice aparece dos veces en una expresión, se suma sobre él.

1.7.1. Producto escalar de dos vectores

El producto escalar entre dos vectores y se define como:

Nótese que el resultado siendo un escalar, no nos preocupamos por dirección o sentido del mismo. El valor de este producto también se determina a partir de los módulos de los vectores (A) y (B):

dónde q es el ángulo entre los vectores. Esta expresión nos dice que el producto escalar entre dos vectores ortogonales (perpendiculares) es nulo. T ambién nos permite determinar el ángulo entre dos vectores a través del valor de su coseno:

1.7.2. Producto vectorial de dos vectores

El producto escalar entre dos vectores y es un vector que se obtiene buscando el determinante de la matriz sig uiente:

 

Note en la última parte de la expresión el uso del tensor completamente anti-simétrico de los símbolos de Levi-Civita, y la convención de la suma sobre los índices repetidos.

 


Figura 1.8
: El producto vectorial es ortogonal al plano de los vectores , como lo muestra esta representación en paralelogramo del producto cruz.

 

1.8. Triple producto

1.8.1. Triple producto escalar

Los productos escalar y vectorial pueden ser combinados para tener multiple productos. De particular interés para nosotros serán el triple producto escalar y el triple producto vectorial.

El primero se puede representar convenientemente por el determinante:

Este triple producto posee las siguientes propiedades de simetría que pueden ser demostradas por aplicación directa de la definición:

El producto es invariante ante un intercambio cíclico de los vectores , pero invierte su signo si el intercambio es anti-cíclico.

Además, el producto escalar y el producto vectorial son intercambiables (se puede probar de la regla de intercambio de filas en el determinante):

La figura 1.9. muestra la representación paraleloidal del triple producto escalar.El resultado es el volumen del paralelopípedo definido por .

 


Figura 1.9
: Representación geométrica del triple producto escalar.

 

1.8.2. Triple producto vectorial

El triple producto vectorial corresponde al producto vectorial entre el vector,

El vector está en el plano formado por y es una combinación lineal de , llevando a una relación de identidad de extrem a importancia:

Esta identidad es conocida como BAC - CAB.

1.9. Inversión de coordenadas, vectores polares y vectores axiales.

En la sección 1.6. se presenta la transformación de coordenadas mediante una rotación. Otra transformación de mucho interés es la reflexión o inversión de coordenadas. Esta se obtiene cua ndo los cosenos directores están dados por:

, es decir .

Que es una inversión de coordenadas.

Esto transforma nuestro sistema de coordenadas de derecho a zurdo. El resultado no afecta el vector en si mismo, pero las componentes en el nuevo sistema de coordenadas serán negativas. Entonces se observa dos comportamientos que permiten clasificar a los vectores:

1.9.1. Vectores polares

Si consideramos el vector posición por ejemplo con componentes, la transformación conduce a con componentes .

Los vectores que se transforman de este modo bajo inversión son llamados vectores polares. Esto se puede apreciar en la figura 1.9.

 


Figura 1.9:
Inversión de coordenadas, caso de un vector polar.

 

La posición, el impulso, la intensidad de campo eléctrico son ejemplos de estos vectores polares.

1.9.2. Vectores axiales

Si el vector en consideración se obtiene como producto vectorial, digamos donde los vectores y son polares(ver figura 1.10.), y de acuerdo a la regla de producto vectorial,

.

Como sendos los vectores y son polares, su componentes cambian de signo, lo que hace que las componentes de q ueden inalterados. Tales vectores se conocen como vectores axiales o pseudo-vectores.

 


Figura 1.10:
Inversión de coordenadas, caso de un vector axial.

 

El torque, el momento angular y la intensidad del campo magnético son ejemplos de estos vectores axiales.

Es claro que las propiedades de simetría de los vectores polares es muy diferente de aquella de los vectores axiales. No se puede sumar o restar vectores de una categoría con vectores de la otra. En una combinación lineal cualquiera, todos los vectores han de ser o polares o axiales.

1.10. Gradiente de una función escalar.

Para empezar el cálculo diferencial vectorial, introduzcamos primero el operador diferencial vectorial Ñ . Este se define como:

Este operador puede aplicarse en una función escalar, o una función vectorial. Cuando opera sobre una función escalar, se obtiene el gradiente de éste.

El gradiente corresponde a un vector que apunta en la dirección de máximo cambio espacial de la función . En particular, el cambio en ésta función cuando nos desplazamos de , se obtiene como .

Esto se ilustra en la figura 1.11

 


Figura 1.11:
Interpretación geométrica del gradiente.

 

El gradiente de una función escalar genera un campo de fuerza (la función escalar es llamada entonces potencial escalar). Tal es el caso de los eléctrico y gravitacional por ejemplo.

1.11. Divergencia de una función vectorial.

Al operar con Ñ sobre una función vectorial, el resultado puede ser una función escalar o una función vectorial. En el primer caso, el resultado es conoci do como la divergencia de la función vectorial y en el segundo rotor de la función vectorial. El prim ero se define como:

Note que para , .

También se puede fácilmente mostrar que

Este concepto se usa mucho en varios campos: la divergencia del campo eléctrico, el flujo de un fluido compresible son ejemplos de ello.

1.12. Rotor de una función vectorial

Otro de los resultados que puede obtener de la aplicación del operador Ñ sobre una función vectorial es el rotor de ésta:

 Note que este determinante ha de ser expandido de arriba abajo, debido a su doble naturaleza vectorial y diferencial. En particular,

y representa otro operador diferencial y no un vector.

Las siguientes y otras identidades se obtienen con relativa facilidad:

1.13. Aplicaciones sucesivas de Ñ.

Al aplicar sucesivamente el operador nabla Ñ sobre una función escalar o vectorial se pueden formar las siguiente expresiones:


    1. Esta expresión se conoce como el
      laplaciano de .

    2. Note que si las segundas derivadas parciales de son continuas, entonces cada término se anula, lo que significa que
      el gradiente es irrotacional.

    3. que también se anula asumiendo continuidad de las segundas derivadas parciales.

    4. donde el laplaciano vectorial

Una aplicación importante de esta relación vectorial es la derivación de la ecuación de onda electromagnética.

En el vacío, las ecuaciones de Maxwell se escriben:

Como la derivadas espaciales y temporales conmutan,

y se obtiene:

,

la ecuación vectorial de ondas electromagnéticas, que escrita en coordenadas cartesianas se separa en tres ecuaciones con laplaciano escalar .